二分答案笔记总结

一、什么是二分答案？

二分答案是一种基于二分查找思想的解题方法，用于求解满足特定条件的最优解（通常是最大值或最小值）。其核心思路是：通过对「可能的答案范围」进行二分，不断缩小范围，最终找到符合条件的最优解。

二分答案的关键前提：问题的解具有单调性。即：

若某个值x满足条件，则所有小于x的值（或大于x的值）也满足（或不满足）条件。
这种单调性保证了可以通过二分缩小范围。

二、二分答案的适用场景

当问题符合以下特征时，可考虑使用二分答案：

问题要求求解「最大的满足条件的值」或「最小的满足条件的值」；
答案的范围可以明确界定（有明确的上下边界）；
对于某个候选值x，能快速判断其是否满足条件（即可以设计check函数）。

三、二分答案的基本步骤

确定答案范围：设定左边界l和右边界r（即可能的答案最小值和最大值）；
设计check函数：判断候选值x是否满足问题的条件；
二分查找最优解：
- 计算中间值mid = (l + r) / 2；
- 用check(mid)判断mid是否满足条件；
- 根据判断结果调整l或r，缩小范围；
- 重复上述过程，直到l > r，此时记录的最优解即为答案。

四、代码实例分析（木材切割问题）

以下代码解决的问题：
有n棵树，高度分别为a[1]~a[n]，现需要砍伐树木，使砍伐后所有木材的总长度至少为m。求最高的砍伐高度（即砍伐后每棵树的高度为x，高于x的部分被砍伐，求最大的x使得总砍伐量≥m）。

代码逐段解析

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,a[1000010];

定义变量：n为树的数量，m为需要的木材总长度，a数组存储每棵树的高度。

bool check(int x){//判断砍伐高度为x的时候 是否满足条件 
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]>x)  sum+=a[i]-x;
    }
    return sum>=m;
}

check函数：核心是判断「砍伐高度为x时，总砍伐量是否≥m」。
- 遍历每棵树，若树高a[i] > x，则砍伐部分为a[i]-x，累加总砍伐量sum；
- 若sum ≥ m，返回true（x是可行的砍伐高度），否则返回false。

signed main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int l=1,r=1e9,ans;  // 步骤1：确定答案范围
    while(l<=r){        // 步骤3：二分查找
        int mid=(l+r)>>1;  // 等价于mid=(l+r)/2，避免溢出
        if(check(mid)){    // 若mid满足条件
            ans=mid;       // 记录当前mid为候选最优解
            l=mid+1;       // 尝试更大的x（因为要找最大可行值）
        }
        else{              // 若mid不满足条件
            r=mid-1;       // 只能尝试更小的x
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

主函数逻辑：
1. 输入数据：读入树的数量n、需要的木材m和每棵树的高度；
2. 设定范围：l=1（最小可能高度），r=1e9（最大可能高度，可根据实际数据调整）；
3. 二分过程：
  - 计算中间值mid；
  - 若check(mid)为true：说明mid是可行的，但可能有更大的可行值，因此更新ans=mid，并将左边界右移（l=mid+1）；
  - 若check(mid)为false：说明mid不可行，需要更小的高度，因此将右边界左移（r=mid-1）；
4. 输出结果：循环结束后，ans即为最大的可行砍伐高度。

五、关键注意点

单调性分析：本例中，x越大，总砍伐量越少（单调性）。因此：
- 若x可行（check(x)=true），则所有小于x的值也可行，但我们要找最大的x，因此需要尝试更大的范围；
- 若x不可行（check(x)=false），则所有大于x的值更不可行，只能尝试更小的范围。
边界设置：l和r的初始值需覆盖所有可能的答案（如本例中树木高度不可能为负，故l=1，r设为较大值）。
check函数效率：check函数的时间复杂度直接影响整体效率（本例中check为O(n)，二分过程为O(log(max_a))，总复杂度为O(n log max_a)，高效可行）。

六、总结

二分答案是解决「最优解问题」的高效方法，核心在于：

识别问题的单调性；
设计正确的check函数；
合理设置边界并执行二分查找。

通过多练习类似「木材切割」「最小时间」「最大容量」等问题，可以快速掌握二分答案的应用。

#5413. 二分答案笔记

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